Примеры решения задач по теме № 2

Задача 1 Используя функцию распределения Максвелла по скоростям, найдите наиболее вероятное значение кинетической энергии атомов гелия, который при давлении р = 10 5 Па имеет плотность r=160 г/м 3 .

Дано: p = 10 5 Па r = 160 г/м 3 = 0,16 кг/м 3 -?

Запишем функцию распределения Максвелла по скоростям.

Поскольку нужно найти наиболее вероятное значение энергии, имеет смысл перейти от распределения по скоростям к распределению по энергиям f( ). По смыслу функции распределения относительное число молекул, скорости которых лежат в интервале скоростей , которому соответствует интервал энергий , равно

Из данного выражения можно получить соотношение связывающее две функции распределения: . Из формулы видно, что для перехода от распределения по скоростям к распределению по энергиям недостаточно просто выразить скорость через энергию. Поскольку , , производная , и выражение для распределения по энергиям будет иметь вид

Наиболее вероятное значение энергии соответствует максимуму функции распределения. Соответственно производная должна быть равна нулю:

Обращаем внимание, что выражение наиболее вероятной энергии нельзя получить, подставив в формулу выражения наиболее вероятной скорости (в этом случае получилось бы ).

Из уравнения Менделеева-Клапейрона следует, что , значит

(в последней формуле учтено, что R = NA·k). Подставляя данные из условия и молярную массу гелия = 4·10 -3 кг/моль, получим Дж.

Задача 2 Пылинки массой 10 -18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура воздуха во всем объеме одинакова: Т=300 К.

m1 = 10 -21 кг T = 300 К Решение При равновесном распределении пылинок их концентрация зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. По распределению Больцмана: n=n0×e - u / kT =n0×e - mgz / kT . (1) Дифференцируя выражение (1) по z, получим DZ - ?

Так как n0×e - mgz / kT =n, то dn= ×n×dz. Отсюда .

Знак «-» показывает, что положительным изменениям координаты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак «-» опускаем и заменяем dz и dn конечными приращениями Dz и Dn:

Dn/n=0,01 по условию задачи. Подставляя значения, получим Dz=4,23 мм.

Задача 3 В сосуде объёмом V = 1 л находится углекислый газ массой m = 0,2 г. При температуре T =2600 K некоторая часть молекул диссоциировала на молекулы кислорода и окиси углерода. При этом давление газа в сосуде оказалось равным 108 кПа. Определить, какая часть молекул диссоциировала.

Дано: V = 1 л = 10 -3 м 3 m = 0,2 г = 2×10 -4 кг Т = 2600 К Р = 108 кПа = 1,08×10 5 Па α -?

Рассмотрим уравнение диссоциации углекислого газа

Таким образом, каждый моль углекислого газа, распадаясь вызывает появление одного моля окисла углерода и половину моля кислорода. В результате распада части молекул в сосуде будут находиться три газа: CO2, CO, O2.

По закону Дальтона найдём выражение для давления, создаваемого данной смесью газов

Введём степень диссоциации - отношение числа молей распавшихся молекул к начальному числу молей вещества . Тогда число молей CO2

число молей O2 (с учётом уравнения реакции) .

Из уравнения Менделеева–Клапейрона

Общее давление будет связано со степенью диссоциации уравнением

Так как (m = 44·10 -3 кг/моль – молярная масса CO2), то . Выражая и производя расчет, получим .

Задача 4 В результате некоторого процесса вязкость некоторого идеального газа увеличилась в раза, а коэффициент диффузии – в раза. Во сколько раз увеличи­лось давление газа.

Согласно молекулярно кинетической теории,

где - средняя длина свободного пробега,

- средняя скорость движения молекул, r = m0n - плотность газа.

По основному уравнению МКТ , поэтому . Подставим в выражение h значения , и r, тогда

Из формул видно, что

, значит, . Для того чтобы найти отношение , свяжем между собой и D. Из формул видно, что . Отсюда , а отношение . В итоге получаем отношение давлений .

Ответ: давление возрастет в два раза.

Задача 5 Газ, занимавший объем 2 л при давлении 0,1 МПа, расширился изотермически до 4 л. После этого, охлаждая газ изохорически, уменьшили давление в 2 раза. Далее газ изобарически расширился до 8 л. Начертите график зависимости давления от объема, найдите работу, совершенную газом.

Дано: V1 = 2 л = 2×10 -3 м 3 P1= 0,1 МПа = 0,1×10 6 Па V2 = 4 л = 4×10 -3 м 3 P3 = V3 = 8 л = 8×10 -3 м 3 A - ?

Решение

Построим график зависимости давления от объема. Первый процесс, происходящий с газом, является изотермическим. Выразим давление через объём и температуру при помощи уравнения Менделеева – Клапейрона . Так как T = const, давление в данном процессе обратно пропорционально объёму, и линия, изображающая данный процесс на p-V диаграмме, будет участком гиперболы начинающейся в точке V1, p1 и заканчивающейся в точке V2, p2.

Второй процесс, происходящий с газом, является изохорическим. В этом процессе объём не изменяется и, следовательно, на P-V диаграмме он изображается в виде вертикальной прямой, идущей из точки V2, p2 в точку V2, p3.

Третий процесс происходящий с газом, по условию задачи, изобарический. На P-V диаграмме он будет выглядеть как горизонтальная линия, идущая из точки V2, p3 в точку V3, p3.

Последовательно изображая все процессы, получим следующую P-V диаграмму.

Рассчитаем работу, совершенную газом. Так как работа, совершаемая газом, - аддитивная величина

где А1 – работа, совершенная в изотермическом процессе,

А2 – работа, совершенная в изохорическом процессе,

А3 – работа, совершенная в изобарическом процессе. Каждую из работ можно вычислить по формуле (V1 и V2 – начальные и конечные объёмы, занимаемые газом). Применим эту формулу для определения работы А1. Согласно уравнению Менделеева – Клапейрона, зависимость p(V) имеет вид .

Следовательно, работа . Множитель RT вынесем из-под знака интеграла как постоянную величину, заменяя её на p1V1, получим

В изохорическом процессе изменение объёма газа не происходит, следовательно, А2 = 0.

При вычислении работы А3 учтём, что давление, как постоянная величина, может быть вынесена из под знака интеграла

Для расчёта необходимо знать давление P3. Так как первый процесс изотермический, . По условию задачи , следовательно,

В качестве дополнения заметим, что существует еще один способ определения работы, совершаемой газом, – графический. Как известно, площадь на диаграмме p-V между линией, изображающей процессы, происходящие с газом, и осью объема по модулю равна работе. Если объём газа увеличится, то работа положительна, в противном случае - отрицательна. В ряде случаев этот метод позволяет найти работу, не прибегая к вычислению интегралов.

Ответ: А = 238,63 Дж.

Задача 6 Определите показатель адиабаты g для смеси газов, содержащей гелий массой = 8 г и водород массой = 2 г. Газы считать идеальными.

Дано: = 8г. 1= 4·10 -3 кг/моль = 2г. 2 = 2·10 -3 кг/моль -?

По определению . Рассчитаем удельные теплоёмкости для смеси газов. Первой вычислим теплоёмкость при постоянном объёме. Количество теплоты, необходимое для нагревания смеси газов на ΔT, с одной стороны, по определению теплоёмкости, равно .

С другой стороны, данное количество теплоты может быть представлено как сумма теплот, идущих на нагревание двух газов по отдельности:

Приравнивая выражения, получим .

Удельные теплоёмкости газов можно выразить через число степеней свободы молекул и молярные массы газов:

После подстановки получаем .

Аналогичные рассуждения дадут для удельной теплоёмкости при постоянном давлении

Соответственно показатель адиабаты после подстановки полученных выражений

Задача 7 Определить КПД тепловой машины, работающей по циклу, изображенному на рисунке, если известно, что V2 = 2V1, Т2 = 2Т1, а рабочим телом является идеальный трехатомный газ.

Дано: Т2 = 2Т1 V2 = 2V1 -?

Прежде всего проанализируем процессы, происходящие с газом. Процессы 2 – 3 и 4 – 1, как видно из рисунка, являются изохорическими. В процессах 1 – 2 и 3 – 4 температура прямо про­порциональна объёму. Значит, данные процессы являются изобарическими.

Перерисуем цикл машины в координатах p–V. По условию задачи температуры в начале и конце изохорического процесса отличаются в 2 раза. Значит, во столько же раз должны отличаться давления газа и можно записать, что

КПД цикла, по определению, равен отношению работы, совершенной газом, к количеству теплоты, полученной от нагревателя: .

Работа, совершаемая газом за цикл, численно равна площади, ограничиваемой циклом на диаграмме p-V. В данном случае эта площадь представляет собой прямоугольник, следовательно:

Тело получает теплоту от нагревателя на участках 1-2 и 2-3 (на участках 3-4 и 4-1 рабочее тело тепловой машины отдаёт теплоту холодильнику): Qн = Q12 + Q34.

Рассчитаем количество теплоты Q12 = СV(T2 - T1). СV = 3R - молярная теплоемкость трёхатомного газа при постоянном объёме. Учтем, что для трёхатомного газа число степеней свободы i = 6. Т1 и Т2 температуры в соответствующих точках цикла. Раскрывая скобки и учитывая, что RT1 = p1V1; RT2 = p2V1 = 2p1V1, получим

Аналогично, можно записать Q23 = Сp(T3-T2). Ср = 4R – молярная теплоёмкость трёхатомного идеального газа при постоянном объёме. Учитывая, что

Рассчитаем коэффициент полезного действия .

Задача 8 В двух сосудах одного и того же объёма находится гелий массой 10 г ( 1= 4·10 -3 кг/моль) и азот массой 56 г ( 2 = 28·10 -3 кг/моль). Давление и температура газов одинаковы. Сосуды соединяют и начинается процесс диффузии. Определить изменение энтропии системы в данном процессе.

Дано: m1 = 10 г =0,01 кг 1 = 4 г/моль = 0,004 кг/моль m2 = 56 г = 0,056 кг 2 = 28 г/моль = 0,028 кг/моль ΔS -?

Процесс диффузии в данной задаче можно рассматривать как процесс изотермического расширения. В этом случае изменение энтропии гелия

Так как процесс изотермический, Q1 = A1. Вычисляя работу в изотермическом процессе, получим

В последней формуле учтено, что V2 = 2V1, так как по условию объёмы обоих сосудов равны. Следовательно, .