7.2. Распределения дискретной случайной величины

Если вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна Р, то число появлений события А — дискретная случайная величина Х, принимающая значения 0, 1, 2, …, с вероятностями (формула Бернулли), где , , .

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, вычисляется по формулам:

Если число испытаний велико, а вероятность появления события Р в каждом испытании очень мала, то вместо формулы Бернулли пользуются приближенной формулой Пуассона

Где Число появлений события в N независимых испытаниях; M принимает значения . (среднее число появлений события в N испытаниях).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру , который определяет этот закон, т. е.

Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает значения 1, 2, …, M, …(бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма вероятностей

Случайная величина , имеющая геометрическое распределение, представляет собой число M испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью Р наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х , имеющей геометрическое распределение с параметром Р вычисляются по формулам:

Пусть имеется N элементов, из которых М элементов обладают некоторым признаком А. Извлекаются случайным образом без возвращения N элементов. Х — дискретная случайная величина, число элементов обладающих признаком А, среди отобранных N элементов. Вероятность, что Х = M определяется по формуле

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по гипергеометрическому закону, определяются формулами:

Пример 7.2. В аккредитации участвуют 4 коммерческих вуза. Вероятности пройти аккредитацию и получить сертификат для этих вузов, соответственно равны 0,5; 0,4; 0,3; 0,2. Составить закон распределения числа коммерческих вузов, не прошедших аккредитацию. Найти числовые характеристики этого распределения.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число коммерческих вузов, не прошедших аккредитацию. Возможные значения, которые может принять случайная величина Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Для составления закона распределения необходимо рассчитать соответствующие вероятности. Обозначим через событие — первый вуз прошел аккредитацию, — второй, — третий, — четвертый. Тогда ; ; ; . Вероятности для вузов не пройти аккредитацию соответственно равны ; ; ; .

Запишем закон распределения в виде таблицы

Проверка: 0,012 + 0,106 + 0,32 + 0,394 + 0,168 = 1.

Пример 7.3. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые последовательно посетит студент, чтобы взять необходимую книгу, если в городе 3 библиотеки.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число библиотек, которые посетит студент, чтобы получить необходимую книгу. Возможные значения, которые примет случайная величина Х: 1, 2, 3.

Обозначим через событие — книга свободна в первой библиотеке, — во второй, — в третьей. Тогда . Вероятность противоположного события, что книга занята

Для составления закона распределения рассчитаем соответствующие вероятности:

Запишем закон распределения в виде таблицы.

Проверка: 0,3 + 0,21 + 0,49 = 1.

Пример 7.4. Из поступающих в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистке, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. Составить закон распределения числа просмотренных часов. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число просмотренных часов. Возможные значения, которые примет случайная величина Х: 1, 2, 3, 4. Все значения случайной величины зависимы.

Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений. Для расчета вероятностей будем использовать формулу классической вероятности и теорему умножения для зависимых событий.

Пусть событие — первые, взятые наугад, часы, нуждающиеся в чистке, — вторые, — третьи, — четвертые. Тогда имеем:

Запишем закон распределения в виде таблицы

Вычислим математическое ожидание случайной величины по формуле

Вычислим дисперсию случайной величины по формуле

Пример 7.5. Известно, что в определенном городе 20 % горожан добираются на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны 4 человека. Составить закон распределения числа людей, добирающихся на работу личным автотранспортом. Найти числовые характеристики этого распределения. Написать функцию распределения и построить ее график.

Решение. В качестве случайной величины Х выступает число людей в выборке, которые добираются на работу личным автотранспортом. Возможные значения, которые может принять случайная величина Х: 0, 1, 2, 3, 4.

Вероятность того, что каждый из отобранных людей, которые добираются на работу личным автотранспортом, постоянна и равна . Вероятность противоположного события, т. е. того, что каждый из отобранных людей добирается на работу не личным автотранспортом, равна . Все 4 испытания независимы. Случайная величина Подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей с параметрами ; ; . Для составления закона распределения вычислим вероятности того, что случайная величина примет каждое из своих возможных значений.