Геометрия 8-го класса в планиметрических задача ЕГЭ

Тип занятий: обобщающее повторение на факультативах и уроках геометрии при подготовке к ЕГЭ по учебнику Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф.и других, Москва, “Просвещение”, 2006г.

I блок. Свойство медианы треугольника.

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины (п. 62).

3. Медианы разбивают заданный треугольник на шесть равновеликих.

т.к. 1= 2 (п.52), значит

Аналогично рассуждая, получим: .

Задача 1. Площадь треугольника ABC равна 60. Точка C является серединой отрезка AC1. Медиана AA1 треугольника ABC1 пересекает сторону BC в точке M. Найдите площадь четырёхугольника CMA1C1.

По условию задачи AA1 и BC – медианы .

Провели медиану C1K. разбился на 6 равновеликих треугольников. Тогда .

Задача 2. В треугольнике медианы, длины которых 3 и 4, пересекаются под прямым углом. Найти площадь треугольника.

По свойству медиан C1O = , тогда C1O = 1; ; .

II блок. Вписанная окружность.

1. Свойство касательных: отрезки касательных к окружности, проведённые из одной из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через центр и эту точку (п. 69).
2. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
3. Суммы длин противоположных сторон описанных четырёхугольников равны (п.74).
4. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис описанного многоугольника.
5. Формула площади описанного многоугольника: , где r – радиус вписанной окружности, P – периметр многоугольника.

Задача 3. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С. Через центр О вписанной окружности проведён луч ВО, пересекающий катет АС в точке М. Известно, что . Найдите гипотенузу.

Т.к. О – точка пересечения биссектрис, то ABM= CBM, значит MAB= MBA, следовательно, - равнобедренный, тогда .

C=90 0 , A= MBC, т.е.

Из по теореме Пифагора

Из по т. Пифагора: =

Задача 4. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. найдите радиус окружности, если АМ=6, ВМ=24

Т.к - равнобедернный, то AB=AC=30

По свойству касательных: АМ=АЕ=6,СЕ=СК=24,ВМ=КВ=24,значит ВС=48

По формуле Герона

Задача 5. прямоугольная трапеция описана около окружности радиусом 2. Найдите площадь трапеции, если одно из её оснований больше другого основания на 3.

; М, Е, К, N – точки касания, О - точка пересечения биссектрис, С+ D=180 0 , тогда , значит,

M – точка касания, OM – радиус, проведённый в точку касания, следовательно , OM CD.Воспользуемся пропорциональностью отрезков в прямоугольном треугольнике (п. 63). OM – среднее геометрическое для отрезков CM и MD:

Примем , тогда . По свойству касательных

Так как трапеция прямоугольная , то OK=BN=BK, OE=AN=AE. Т. к. AD>BC на 3, то AD=BC+3

Задача 6. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Точка касания делит боковую сторону на отрезки длинной 1 и 9 . Найти площадь трапеции.

Аналогично решению задачи №5

По свойству сторон описанного четырехугольника , тогда P=32

III блок. Описанная окружность

1. Центральный угол измеряется величиной дуги, на которую он опирается (п.70)
2. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
3. Если две хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды (п.71)

Задача 7. Высоты АН и ВК остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке М, АВМ=105 0 . Найдите градусную меру угла АВО, где О- центр окружности, описанной около треугольника АВС

Задача 8. в треугольнике ABC угол В равен 30 0 . около треугольника описана окружность радиуса 12. хорда ВК проходит через середину М стороны АС, причем МК=2. Найдите ВМ

IV Блок. Подобные треугольники. (пп 59, 60, 61)

Задача 9. В прямоугольном треугольнике ABC ( C=90 0 ), из вершины прямого угла проведена высота CH. Периметры треугольников ACH и BCH равны соответственно 3 см и 4 см. Найдите периметр треугольника ABC.

Примем CH=x, x>0, тогда

В треугольнике ABC BC – среднее геометрическое для AB и BH . По условию P периметр равен 4 см, тогда , X=1

Значит, CH=1см; PABC= 7 – 5 = 5. Ответ: 5

Задача 10. Найти периметр равнобедренного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 3, а высота, проведённая к основанию, равна 8.

M – точка касания. Проведём ОМ. ОМ ОС (как радиус, проведённый в точку касания).

( OBM – общий, BMO = BHC = 90 0 )

Из по теореме Пифагора

Из по теореме Пифагора .

V Блок. Свойства биссектрисы треугольника.

1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон (п. 72)
2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника (№ 535)

Задача11. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты ВМ и АН пересекаются в точке К, причём АК=5, КН=3. Найдите площадь треугольника АВК. Проведём высоту СЕ. Она проходит через точку К (п. 73).

SАВК= . Так как треугольник АВС – равнобедренный, то высота ВМ является биссектрисой.

КЕ=КН=3. Из треугольника АЕК по т. Пифагора . В треугольнике АВН ВН - биссектриса и делит сторону АН на отрезки, пропорциональные сторонам АВ и ВН: .

Примем ВН = х, где х>0, тогда . АВ = 6+4=10.

Задача 12. В ромбе АВСD из вершины тупого угла В проведена высота ВН к стороне АD. Она пересекает диагональ АС в точке М. Сторона ромба равна 15, а его площадь равна 135.

Найдите площадь треугольника АМН

. SABCD= AD . BH. ВН = 135:15 = 9. Из треугольника АВН по теореме Пифагора , . Так как диагональ ромба является биссектрисой (п.46), то по свойству биссектрисы треугольника АВН получим Примем МН=х, х>0, тогда

Задача 13. Площадь равнобедренного треугольника АВС равна 20. К основанию АС и стороне ВС проведены высоты BD и АН, пересекающиеся в точке К. Найдите площадь треугольника ВКН, если

тогда АВ=ВС (так как треугольник АВС-равнобедренный). Из треугольника АВН :