Исследовательская работа и презентация на тему "Трапеция в заданиях ОГЭ" (9 класс)

Цель работы: Выявить общие методы решения задач повышенной сложности №26 заданий ОГЭ. Задачи исследования: Изучить теоретический материал о трапеции Решить задачи о трапеции в 26 задании ОГЭ. Выделить в решении задач тот теоретический материал который позволил мне решить эти задачи.

Объект исследования работы –трапеция. Гипотеза: существуют общие методы решения задач на трапецию. Практическая ценность данного исследования заключается в использовании полученных результатов для более качественной подготовки к экзамену. Этот материал можно использовать на уроках геометрии в 8 классе при изучении темы «Трапеция»

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») - четырёхугольник, как минимум две противоположные стороны которого параллельны.

Виды трапеции Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой, равнобочной или равнобедренной трапецией. Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Общие свойства Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен (среднее гармоническое), где x и у — основания трапеции (формула Буракова). Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности. Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей.

Вписанная и описанная окружность. Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований). В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°. Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность. Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — а и b , — то r =√ab .

Прототип задания 26 (№ 324600) В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания. Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение – провели высоты из вершины В и EF через точку К.

Прототип задания 26 (№ 324601) В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD , если AD=4, BC=3. Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение – достроили трапецию до треугольника.

Прототип задания 26 (№ 324603) Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 36 и 39, а основание BC равно 12. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB . Найдите площадь трапеции. Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение – провели среднюю линию трапеции (отрезок параллельный основанию).

Прототип задания 26 (№ 324613) Основания трапеции относятся как 1:3. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции? Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение – провели через точку пересечения диагоналей отрезок, перпендикулярный основаниям и прямую параллельную основаниям.

Прототип задания 26 (№ 324615) Углы при одном из оснований трапеции равны и , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 11 и 10. Найдите основания трапеции. Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение – достроили трапецию до треугольника.

Прототип задания 26 (№ 324616) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 3 и 4, а средняя линия равна 2,5. Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение –провели отрезок параллельный одной из диагоналей.

Прототип задания 26 (№ 324619) В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 36 и 12, а сумма углов при основании AD равна 90 градусов . Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=10. Примечание: в этой задаче мы использовали дополнительное построение – достроили трапецию до прямоугольного треугольника.

Вывод: существуют три основных пути решения. 1.Провести две высоты 1. Четырехугольник BCKF — прямоугольник (так как у него все углы прямые). Следовательно, FK=BC. AD=AF+FK+KD, отсюда AD=AF+BC+KD. Треугольники ABF и DCK — прямоугольные. 2. В этом случае AD=AF+FD=AF+FK-DK=AF+BC-DK.) 3. Если трапеция равнобедренная, решение задачи упрощается: В этом случае прямоугольные треугольники ABF и DCK равны, например, по катету и гипотенузе (AB=CD по условию, BF=CK как высоты трапеции). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AF=KD=(AD-FK):2=(AD-BC):2.

2.Провести прямую, параллельную боковой стороне. I. BM∥CD. Так как BC∥AD (как основания трапеции), то BCDM — параллелограмм. Следовательно, MD=BC, BM=CD, AM=AD-BC. В частности, для равнобедренной трапеции BM∥CD. Так как CD=AB, то и BM=AB. То есть получаем равнобедренный треугольник ABM и параллелограмм BCDM.

3.Продолжить боковые стороны и получить треугольник. Прямые AB и CD пересекаются в точке P. Треугольники APD и BPC подобны по двум углам (угол P — общий, ∠PAD= ∠PBC как соответственные при BC∥AD и секущей AP). Следовательно, их стороны пропорциональны:

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎