Комплект заданий для подготовки к ОГЭ по теме "Треугольники" (Часть 1) материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс) на тему

В комплект входит файл с теорией, задания с кратким ответом, задания на распознавание ошибочных заключений, презентация к заданиям последнего вида.

Скачать:

ВложениеРазмер teoriya_dlya_pechati.doc 408 КБ zadachi_s_kratkim_otvetom.doc 104 КБ vernye_nevernye.doc 53 КБ vernye_i_nevernye.pptx 184.96 КБ

Предварительный просмотр:

Признаки равенства треугольников

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. По двум катетам

3. По катету и острому углу

2. По катету и гипотенузе

4. По гипотенузе и острому углу

Теорема о сумме углов треугольника и следствия из неё.

1. Сумма внутренних углов треугольника равна .

2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним углов.

3. Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним

Неравенство треугольника. Следствия из неравенства треугольника

1. Сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны.

2. Против большего угла треугольника лежит большая сторона.

3. Против большей стороны треугольника лежит больший угол.

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше катета.

Основные свойства и признаки равнобедренного треугольника.

Треугольник называется равнобедренным , если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

4. Если в треугольнике медиана является и высотой, то такой треугольник равнобедренный.

Средняя линия треугольника.

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.

Теорема о средней линии треугольника. Средняя линия треугольника параллельна стороне треугольника и равна ее половине.

Теоремы о медианах треугольника.

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около треугольника.

Теорема о высотах треугольника.

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Свойство биссектрисы треугольника.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в треугольник.

Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.

1. Теорема Пифагора . Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов.

2. Теорема, обратная теореме Пифагора. Если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник - прямоугольный.

3. Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус противолежащего или на косинус прилежащего к этому катету острого угла.

4. Катет прямоугольного треугольника равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или котангенс прилежащего к этому катету острого угла.

5. Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

6. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 0 .

7. ; , где - катеты, - гипотенуза, и - радиусы соответственно вписанной и описанной окружности.

8. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу,

9. Катет есть среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции на гипотенузу.

Метрические соотношения в треугольнике.

1. Теорема косинусов . Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

2. Формула для медианы треугольника . Если mс - медиана треугольника, проведенная к стороне c , то , где a и b - остальные стороны треугольника.

3. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

где R – радиус, описанной около треугольника окружности

4. Обобщенная теорема синусов. Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру окружности, описанной около треугольника.

Формулы площади треугольника.

1. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

4. Площадь треугольника равна произведению трех его сторон, деленному на учетверенный радиус описанной окружности.

3. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

5. Формула Герона.

Элементы равностороннего треугольника.

Пусть h ,S, r, R - высота, площадь, радиусы описанной и вписанной окружности равностороннего треугольника со стороной a .

1. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

2. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны.

Отношение соответствующих линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Предварительный просмотр:

Задачи с кратким ответом

Вычисление углов и длин

В треугольнике АВС угол А равен , внешний угол при вершине В равен . Найдите градусную меру угла С .

В треугольнике АВС угол С равен , АС = ВС. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине В .

Градусные меры углов треугольника относятся как

2 : 3 : 7. Найдите градусную меру меньшего из углов треугольника.

В треугольнике АВС угол С равен , АD – биссектриса угла А, угол ВAD равен . Найдите градусную меру угла ВDA .

В прямоугольном треугольнике один из острых углов в 5 раз больше другого. Найдите градусную меру большего острого угла данного треугольника.

Мальчик прошел от дома по направлению на запад 120 м. Затем повернул на север и прошел 50 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

Группа туристов двигалась от станции на север 2ч со скоростью 4 км/ч, а затем на восток 3ч со скоростью 2 км/ч. На каком расстоянии (в километрах) от станции оказалась группа туристов?

На какой высоте будет находиться верхний конец лестницы, длиной 13 м, если нижний её конец находится на расстоянии 5 м от стены.

Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 11:34. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Острые углы прямоугольного треугольника равны 29º и 61º. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла.

По данным рисунка найдите площадь треугольника.

В треугольнике АВС проведена высота СН. Известно, что АВ = 3СН, СН = 3. Найдите площадь треугольника.

В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6, а угол, лежащий напротив него, равен . Найдите площадь треугольника.

Периметр равнобедренного треугольника равен 16, а боковая сторона — 5. Найдите площадь треугольника.

В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна , а угол между ними равен . Найдите площадь треугольника.

Периметр треугольника равен 24 см, а радиус вписанной в него окружности - 3 см. Найдите площадь треугольника.

Предварительный просмотр:

Какие из следующих утверждений верны?

Если медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным.
Если биссектриса треугольника делит противоположную сторону на равные отрезки, то этот треугольник равнобедренный.
Если треугольник равносторонний, то длина любой его высоты равна длине любой его биссектрисы.
Если треугольник равнобедренный, то наименьшей из сторон является его основание.

Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон.
В равнобедренном треугольнике имеется не более двух равных углов.
Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
В треугольнике АВС, для которого АВ = 3, ВС = 4, АС = 5 угол наименьший.

В треугольнике против меньшего угла лежит большая сторона.
Если один угол треугольника больше 120 0 , то оба других его угла меньше 30 0 .
Если все стороны треугольника меньше 1, то и все его высоты меньше 1.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосходит .

В треугольнике , для которого , , , сторона — наименьшая.
В треугольнике , для которого , , , угол — наибольший.
Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла.
Треугольник со сторонами 1, 2, 3 не существует.

Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.
В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.
Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.
Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Выберите неверные утверждения

Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.
Любые два равнобедренных треугольника подобны.
Любые два прямоугольных треугольника подобны.
Треугольник ABC , у которого , , , является тупоугольным.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.
Любые два равносторонних треугольника подобны.
Треугольник ABC , у которого , , , является прямоугольным.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы не превосходит суммы квадратов катетов.

Стороны треугольника пропорциональны синусам прилежащих углов.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без произведения этих сторон на косинус угла между ними.
Любые два прямоугольных и равнобедренных треугольника подобны.

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
В равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.
В треугольнике против меньшей стороны лежит больший угол.
Если в треугольнике два угла по 70°, то он тупоугольный.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Существует треугольник со сторонами 2, 4, 7.
Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
Площадь треугольника равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

1.Какие из следующих утверждений верны ? 1) Если медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, не совпадают, то этот треугольник не является равнобедренным. 2) Если биссектриса треугольника делит противоположную сторону на равные отрезки, то этот треугольник равнобедренный. 3) Если треугольник равносторонний, то длина любой его высоты равна длине любой его биссектрисы . 4) Если треугольник равнобедренный, то наименьшей из сторон является его основание . 05.10.2012 2

2.Какие из следующих утверждений верны? 1) Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон. 2) В равнобедренном треугольнике медиана является биссектрисой и высотой. 3) Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. 4) В треугольнике АВС, для которого АВ = 3, ВС = 4, АС = 5 угол С наименьший. 05.10.2012 3

3. Какие из следующих утверждений верны? 1) В треугольнике против меньшего угла лежит большая сторона. 2) Если один угол треугольника больше 120 0 , то оба других его угла меньше 30 0 . 3) Если все стороны треугольника меньше 1, то и все его высоты меньше 1. 4) Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосходит 90 0 . 05.10.2012 4

4.Какие из следующих утверждений верны? 1) В треугольнике , для которого , , , сторона ВС — наименьшая. 2) В треугольнике, для которого АВ = 4, ВС =5, АС= 6, угол В — наибольший. 3) Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла. 4) Треугольник со сторонами 1, 2, 3 не существует. 05.10.2012 5

5.Какие из следующих утверждений верны? 1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности. 2) В любой треугольник можно вписать не более одной окружности. 3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис. 4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. 05.10.2012 6

6. Выберите неверные утверждения 1) Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. 2) Любые два равнобедренных треугольника подобны. 3) Любые два прямоугольных треугольника подобны. 4) Треугольник ABC , у которого АВ = 3, ВС = 4, АС = 5 , является тупоугольным. 05.10.2012 7

7. Выберите неверные утверждения 1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними. 2) Любые два равносторонних треугольника подобны. 3) Треугольник ABC , у которого АВ = 4, ВС=5, АС = 6, является прямоугольным. 4) В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы не превосходит суммы квадратов катетов. 05.10.2012 8

8. Выберите неверные утверждения 1) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. 2) Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то такие треугольники подобны. 3) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без произведения этих сторон на косинус угла между ними. 4) Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. 05.10.2012 9

9 . Выберите неверные утверждения 1) Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. 2) В равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий любую точку основания, отличную от вершины, с противоположной вершиной, меньше боковой стороны. 3) В треугольнике против меньшей стороны лежит больший угол. 4) Если в треугольнике два угла по 70°, то он тупоугольный. 05.10.2012 10

10 . Выберите неверные утверждения 1) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. 2) Существует треугольник со сторонами 2, 4, 7. 3) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон. 4) Площадь треугольника равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности. 05.10.2012 11

📎📎📎📎📎📎📎📎📎📎