Государственный университет управления имени Серго Орджоникидзе

За некоторый период времени количество акций у гражданина Иванова увеличилось на 15 процентов. На сколько процентов увеличилась общая стоимость акций этого гражданина, если цена каждой его акции возросла на 20%?

Ответ: 38 процентов.

На фирме работает 25 человек. Известно, что 18 из них являются владельцами акций компании “ОКА”, а 19 – владельцами акций компании “КАМА”. Какая часть сотрудников фирмы (в процентах) владеет акциями обеих компаний, если каждый сотрудник является обладателем хотя бы одной акции?

Ответ: 48 процентов.

Число приватизированный квартир в доме составляет от 2,7 до 3,5 процентов от общего числа квартир. Каково минимально возможное число квартир в таком доме?

Число приватизированных квартир в доме заключено в пределах от 93,4 до 93,5 процентов от общего числа квартир. Каково минимально возможное число квартир в таком доме?

Имеются два бака: первый наполнен до верху глицерином, а второй водой. Взяли два двухлитровых ковша, зачерпнули первым ковшом доверху глицерин из первого бака, вторым ковшом – воду из второго бака, после чего первый ковш влили во второй бак, а второй ковш – в первый бак. После перемешивания повторили эту операцию со смесью еще один раз. В результате 40 процентов объема первого бака занял чистый глицерин. Определить суммарный объем баков, если по объему второй бак в четыре раза больше первого бака.

Первого января 1994 г. некто положил в банк сумму в 500 тыс. рублей из расчета 60 процентов годовых. Известно, что сумма вклада растет линейно (простые проценты). Какова сумма вклада на 1 июня того же года?

Ответ: 625 тыс. руб.

Некто получил в Германии гонорар в размере 10000 марок. Эти деньги он решил положить в банк на три месяца. Что предпочтительнее: 1) сразу перевести марки в доллары по курсу 0,705 доллара за марку и хранить деньги в американском банке из расчета 4 процента годовых, или 2) хранить марки в немецком банке из расчета 5 процентов годовых, а через три месяца перевести их в доллары по курсу 0,7 доллара за марку?

Ответ: первый вариант предпочтительнее.

Спрос на некоторый товар при цене 100 руб. за 1 ед. равен 1500 ед., а при цене 150 руб. за 1 ед. – 1200 ед. Предполагая, что спрос линейно зависит от цены, а) вывести уравнение функции спроса и б) определить спрос при цене 120 руб. за 1 ед.

Ответ: а) Q = 2100 -6 ∙Р;

б) при Р = 120 Q = 1380

На собрании акционеров было решено увеличить прибыль предприятия за счет расширения ассортимента продукции. Экономический анализ показал, что

Ответ: 279 млн. руб. в год.

Одна акция компании “ВОРЯ”, три акции компании “НЕРЛЬ” и пять акций компании “СОТЬ” вместе стоят 100 тысяч рублей. Две акции компании “ВОРЯ”, четыре акции компании “НЕРЛЬ” и три акции компании “СОТЬ” вместе стоят 150 тыс. руб. Какова общая стоимость семи акций компании “ВОРЯ”, семнадцати акций компании “НЕРЛЬ” и двадцати одной акции компании “СОТЬ”?

На счет, который вкладчик имел в начале года, начисляется в конце этого года r 1 процентов, а на тот счет, который вкладчик имел в начале второго года, начисляется в конце этого года r 2 процентов, причем r1 + r 2 = 140. Вкладчик положил на счет в начале первого года некоторую сумму и снял в конце этого года (после начисления процентов) пятую часть положенной суммы. При каком значении r 1 счет вкладчика в конце второго года окажется максимально возможным?

Предприятие изготовляет продукцию двух видов (А и В), используя для этого три вида ресурсов ( M, N и K ). Нормы использования ресурсов и их запасы заданы в таблице

Вид ресурса Запас ресурса Расход ресурса на единицу продукции А В M 3600 6 6 N 2000 4 2 K 4000 4 8

Определить максимально возможное значение дохода от продажи продукции этого предприятия, если цены на продукцию А и В равны соответственно 1200 и 1500 тыс. руб. за единицу.

Ответ: 840 млн. руб.

Для увеличения выпуска продукции решено расширить производство за счет использования имеющейся свободной площади в 70 кв.м, на которой предполагается установить оборудование двух видов общей стоимостью не более 100 млн. руб. Каждый комплект оборудования вида А занимает 20 кв.м, стоит 10 млн. руб. и позволяет получить за смену 40 ед . продукции, а каждый комплект оборудования вида В занимает 10 кв. м, стоит 30 млн. руб. и позволяет получить за смену 80 ед. продукции. Определить значение максимально возможного прироста выпуска продукции.

Ответ: 280 ед. в смену.

Требуется приобрести партию холодильников двух типов (“Ока” и “Север”) в количестве не менее 43 штук. Цена холодильника “Ока” вдвое превышает цену холодильника “Север”. При каком количестве холодильников “Ока” достигается минимум расходов на покупку, если число холодильников “Ока” не должно отличаться от удвоенного числа холодильников “Север” более, чем на три?

На двух шахтах добывается руда: на первой – 100 т в день, на второй – 220 т в день. Эта руда ежедневно перерабатывается на двух заводах, причем первый завод может перерабатывать в день не более 200 т руды, а второй – не более 250 т. Стоимость перевозок одной тонны руды от шахты до завода (в условных единицах) определяется из таблицы:

Номер завода 1 2 Номер шахты 1 5 4 2 7 5

Сколько руды нужно возить с каждой шахты на каждый завод, чтобы общая стоимость перевозок была наименьшей?

Ответ: на первый завод следует возить 70 т руды из первой шахты;

на второй завод следует возить 30 т руды из первой шахты и 220 т руды из второй.

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Даны | а | = 13, | b | = 19, | а + b | = 24. Вычислить | а – b |.

Ответ: | а – b | = 22.

Векторы а и b образуют угол φ = 120˚. Определить | а + b | и | а – b |, если известно, что | а | = 3, | b | = 5.

Ответ: | а – b | = 7; | а + b | = √19.

По сторонам ОА и ОС прямоугольника ОАВС отложены единичные векторы i и j . Выразите через i и j векторы ОМ; ON; MN , если ОА = 3; ОС = 4; М – середина стороны СВ ; N – середина стороны АВ.

Ответ: ОМ = ОС + СМ = 4 j + 1,5i;

ON = ОА + AN = 3i + 2j;

MN = MB + BN = 1,5i – 2j.

В трапеции ОАВС СВ = 1/3 ОА и СВ || ОА. Разложите вектор ОА = а по векторам ОС = с и ОВ = b.

Ответ: а = 3 b – 3с.

В равнобокой трапеции ОАВС Ð АОС = 60˚; ОС = СВ = ВА = 2, M и N – середины сторон СВ и АВ соответственно. Выразите векторы АВ; ОМ; О N и М N через m и n – единичные векторы направлений ОА и ОС.

Ответ: АВ = АО + ОС + СВ = -4 m + 2n + 2m = 2n – 2m

OM = OC + CM = 2n +m

ON = OA + AN = OA + ½ AB = 4m + n – m = 3m + n

MN = MB + BN = MB – ½ AB = m – n + m = 2m – n

Векторы АС = а и BD = b служат диагоналями параллелограмма АВС D . Выразите через векторы а и b векторы АВ; ВС; С D и DA , являющиеся сторонами этого параллелограмма.

Ответ: АB = DC = OC – OD = a/2 – b/2

BC = BO + OC = b/2 + a/2

CD = - DC = - a/2 + b/2

DA = - BC = - b/2 – a/2

Точки K и L служат серединами ВС и С D параллелограмма АВС D . Полагая AK = k и AL = l , выразите через векторы k и l векторы ВС и CD.

Ответ: С D = (- 4k + 2l) / 3

Даны векторы а и b , угол между которыми 120˚. Постройте вектор с = 2а – 1,5 b и найдите его длину, если | а | = 3 и

Даны векторы ОА = а и ОВ = b . Вектор ОС = с – медиана треугольника ОАВ. Разложите:

Ответ: с = ½ (а + b); а = 2с – b

В треугольнике АВС сторона ВС разделена точкой D в отношении 3 : 2, считая от вершины В. Разложите вектор AD по векторам АВ = b и АС = с.

Ответ: AD = 2/5 b + 3/5 c

В треугольнике АВС проведена биссектриса AD . Разложите вектор AD по векторам АВ = b и АС = с, если длины сторон треугольника АВ и АС равны соответственно 3 и 4.

Ответ: AD = 4/7 b + 3/7 с

Дан правильный шестиугольник OABCDE со стороной ОА = 3. Обозначив единичные векторы направлений ОА, АВ, ВС через m, n и p , установите зависимость между ними. Выразите через m и n векторы ОВ, ВС, ЕО , OD и DA.

Ответ: m + n + p = 2n; OB = m + n;

BC = n – m; EO = m – n;

OD = 2n – m; DA = 2m – 2n.

В выпуклом четырехугольнике АВС D АВ = b , С D = d . Разложите вектор EF . Соединяющий середины диагоналей АС и BD по векторам b и d.

Ответ: EF = ½ b + ½ d.

Медианы треугольника АВС пересекаются в точке О. разложите вектор АО по векторам АВ и АС.

Ответ: АО = 1/3 АВ + 1/3 АС.

Через середину М стороны ВС параллелограмма АВС D и вершину А проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке Р. Разложите вектор АР по векторам АВ и AD.

Ответ: АР = 2/3 АВ + 1/3 AD.

Прямая, проведенная через вершину А трапеции АВСЕ, пересекает диагональ ВЕ в точке Р и боковую сторону СЕ в точке К. Разложите вектор АР по векторам ВС и СЕ, если известно, что АЕ : ВС = 3 и СК : КЕ = 2.

Ответ: АР = 27/10 ВС – 3/10 СЕ.

Пусть К и М – середины сторон ВС и CD параллелограмма АВС D и АК = а, АМ = b . Выразите векторы BD и AD через векторы а и b.

Ответ: BD = 2 (b – a); AD = 2/3 ( 2b – a) .

Векторы а, b , с лежат в одной плоскости и образуют попарно друг с другом углы 120˚. Разложите вектор а по векторам b и с, если | а | = 3; | b | = 2; | с | = 1.

Ответ: а = - 3/2 b – 3с.

В треугольнике АВС дано: АВ = а; АС = b ; | а | = | b | = 2; Ð ВАС = 60 ° . Выразите через а и b единичный вектор, направленный по высоте треугольника, проведенной из вершины А.

Ответ: е = (а + b) / 2 Ö 3

Пусть О – точка пересечения медиан треугольника АВС и АО = а; АС = b . Разложите векторы АВ и ВС по векторам а и b.

Ответ: АВ = 3а – b ; ВС = -3а + 2 b.

Дан произвольный выпуклый четырехугольник АВС D . О – точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон этого четырехугольника. Найдите сумму векторов ОА + ОВ + ОС + OD.

Из точки М к окружности с центром в точке О проведены касательные МА и МВ. Разложите вектор МО по векторам МА и МВ, если известно, что величина угла АМВ = p / 3 и радиус окружности равен 4.

Ответ: МО = 2 / Ö 15 (МА + МВ).

В треугольной призме АВС DEF точка М делит диагональ боковой грани СЕ в отношении СМ : МЕ = 2 : 3. Разложите вектор АМ по векторам А D , АВ и АС.

Ответ: АМ = 1/3 (2 AD + АВ + АС).

ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА НА КООРДИНАТНЫЕ ОСИ

И ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА

Найдите длины диагоналей параллелограмма АВС D , построенного на векторах а = i + j и b = k –3j.

Ответ: ОС = Ö 6; ВА = 3 Ö 2.

Даны три последовательные вершины параллелограмма А (1; -2; 3); В (3; 2; 1) и С (6; 4; 4). Найдите четвертую вершину D и длины диагоналей параллелограмма.

Определите, при каких значениях a и b векторы а = -2 i + 3j + b k и b = a i – 6j + 2k коллинеарны.

Даны точки А (-1; 5; -10); В (5; -7; 8); С (2; 2; -7) и D (5; -4; 2). Проверьте, что векторы АВ и CD коллинеарны; установите, какой из них длиннее другого и во сколько раз; как они направлены – в одну или в противоположные стороны.

Ответ: АВ ­ ­ CD ; АВ = 2 CD.

На плоскости даны два вектора а = í 2; -3 ý и b = í 1; 2 ý . Найдите разложение вектора с = í 9; 4 ý по векторам а и b.

Ответ: с = 2а + 5 b.

Найдите орт вектора а = í 6; -2; -3 ý .

Определите начало вектора а = í 2; -3; -1 ý , если его конец совпадет с точкой В (1; -1; 2).

Даны векторы а = í 2; 3; -5 ý ; b = í 3; 0; 1 ý ; с = í 4; -3; 2 ý . Найдите координаты и длину вектора d = 3а + b – с.

Ответ: d = í 5; 12; -16 ý ; | d | = Ö 425.

Дано разложение вектора а по векторам i, j, k : а = i + 2j – 2k . Найдите разложение по этим же векторам вектора b , параллельного вектору а и противоположно с ним направленного, если известно, что | b | = 12.

Ответ: b = - 4i – 8j + 8k.

Даны три вектора а = í 3; -2;1 ý , b = í -1; 1; -2 ý , с = í 2; 1; -3 ý . Найдите разложение вектора d = í 11; -6; 5 ý по векторам а, в, с.

Ответ: d = 2а – 3 b + с.

Два вектора а = í 2; -3; 6 ý и b = í -1; 2; -2 ý приложены к одной точке. Определите координаты вектора с, направленного по биссектрисе угла между векторами а и b , если известно, что | с | = 3 Ö 42.

Вектор b , коллинеарный вектору а = í 6; -8; -7,5 ý , образует острый угол с осью oz . Найдите координаты вектора b , если известно, что | b | = 50.

Найдите координаты вектора b , противоположно направленного с вектором а = í 2 Ö 2; -1; 4 ý , если известно, что | b | = 10.

Даны две точки А (3; -1) и В (2; 1). Определите координаты точки С, симметричной точке А относительно точки В.

Даны две смежные вершины параллелограмма А (-3; 5), В (1; 7) и точка пересечения его диагоналей М (1; 1). Найдите координаты двух других вершин.

Даны вершины треугольника А (1; 4), В (3; -9), С (-5; 2). Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника АВС.

Даны два вектора с 1 = 2а + 4 b и с 2 = 3b – а, где а = í a ; 1; 2 ý ; b = í 1; 1; 3 b ý . При каких значениях a и b векторы с 1 и с 2 коллинеарны.

Даны два вектора а = í - p(q + 2); - 2p – 3; p(q + 2) ý и b = í - q – 2; p + 2; q + 2 ý . Найдите все значения параметров, при которых эти векторы коллинеарны, но не равны.

Ответ: q = - 2, p ≠ -5/3 или p € í -3; -1 ý , q € R/

В треугольнике АВС с вершинами в точках А (2; 1; -1), В (3; 0; 2), С (5; -2; 4) на сторонах АВ и ВС выбраны соответственно точки Е и D так, что АЕ : ЕВ = 3 : 2 и BD : DC = 1 : 1. Найдите координаты точки пересечения отрезков AD и CE.

Дан тетраэдр. Вершины которого находятся в точках А (3; 0; 1), В (5; 2; 3), С (-1; 4; -1), D (2; -3; 4). Вычислите длину вектора АМ, где М – точка пересечения медиан треугольника ВС D.

Задана точка М (2; -1; -2). Определите длину и направление ее радиус-вектора.