Под редакцией А. Л. Семенова и И. В. Ященко

4.1. Первое решение . Рассмотрим прямоугольный треугольник OBC . Его катет BC равен 3, гипотенуза OB равна . Следовательно, sin A = .

Второе решение . Угол AOB равен 45 о . Следовательно, sin A = .

4.2. Рассмотрим прямоугольный треугольник OBC . Его катеты BC и OC равны соответственно 4 и 2. Следовательно, тангенс угла BOC равен 2. Учитывая, что тангенс смежного угла равен тангенсу данного угла, взятому с противоположным знаком, получаем, что тангенс угла AOB равен – 2.

4.3. Рассмотрим треугольник OB С . OC = BC = , OB = . Следовательно, треугольник OBC – прямоугольный, косинус угла AOB равен .

5.1. Подставляя в формулу BC = AB sin A данные значения BC и sin A , находим AB = 5.

5.2. Имеем BC = AC tg A = 8 0,75 = 6. По теореме Пифагора находим AB = = 10.

5.3. Углы BCH и BAC равны, как острые углы с перпендикулярными сторонами, значит, cos BCH = 0,8. CH = BC cos BCH = 4,8.

6.1. Первое решение . Проведем высоту CH . Имеем CH = AC sin A = 8. По теореме Пифагора находим AH = и, следовательно, AB = 12.

Второе решение . Проведем высоту CH . Воспользуемся формулой , выражающей косинус острого угла через его синус. Тогда cos A = = 0,6. Следовательно, AH = AC cos A = 6 и, значит, AB = 12.

6.2. Первое решение . В равнобедренном треугольнике ABC угол A равен углу B , BH = AB cos B = 6. По теореме Пифагора находим AH = .

Второе решение . Воспользуемся формулой , выражающей синус острого угла через его косинус. Тогда sin A = = 0,8. Следовательно, поскольку в равнобедренном треугольнике A = B , получаем AH = AB sin B = 8.

6.3. Первое решение . В равнобедренном треугольнике ABC угол A равен углу C , значит, tg A = tg C и AH = . По теореме Пифагора находим AC = = 10.

Второе решение . Так как tg C = , то угол C равен 30 о . Угол A равен углу C . Так как катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 о , равен половине гипотенузы, то AC = 10.

1. Нахождение значений тригонометрических функций острых углов прямоугольного треугольника

1. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , AB = 10, BC = 6 . Найдите cos A .

2. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , AB = 10, AC = 8 . Найдите tg A .

3. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , cos A = 0,8. Найдите sin A .

4. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , cos A = 0,8. Найдите tg A .

5. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , tg A = 0,75. Найдите sin A .

6. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , sin A = 0,6. Найдите cos B .

7. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , cos A = 0,8. Найдите sin B .

8. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , CH – высота, AC = 10, AH = 8. Найдите cos B .

9. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , CH – высота, BC = 10, BH = 6. Найдите cos A .

1. В треугольнике ABC AC = BC = 10, AB = 12. Найдите cos A .

2. В треугольнике ABC AC = BC = 10, AB = 16. Найдите tg A .

3. В треугольнике ABC AC = BC = 10, AB = 16. Найдите sin A .

4. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 10, высота AH равна 8. Найдите sin A .

5. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 10, высота AH равна 8. Найдите cos A .

6. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 10, AH – высота, BH = 6. Найдите cos A .

7. В треугольнике ABC AC = BC , AH – высота, sin A = 0,8. Найдите косинус угла BAH .

8. В треугольнике ABC AB = BC , AC = 16, высота CH равна 8. Найдите синус угла ACB .

9. В треугольнике ABC AB = BC , AC = 5, CH – высота, AH = 4. Найдите синус угла ACB .

1. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , AB = 10, BC = 6 . Найдите косинус внешнего угла при вершине A .

2. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , AB = 10, BC = 6 . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A .

3. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , cos B = 0,8. Найдите косинус внешнего угла при вершине A .

4. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , cos A = 0,8. Найдите синус внешнего угла при вершине A .

5. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , tg A = 0,75. Найдите косинус внешнего угла при вершине A .

6. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , sin A = 0,6. Найдите косинус внешнего угла при вершине B .

7. В треугольнике ABC AC = BC = 10, AB = 12. Найдите синус внешнего угла при вершине B .

8. В треугольнике ABC AB = BC , AB = 10, высота CH равна 8. Найдите косинус угла ABC .

9. В треугольнике ABC AB = BC , CH ­– высота, AB = 10, BH = 6. Найдите синус угла ABC .

1. Найдите косинус угла AOB . В ответе укажите значение косинуса, умноженное на .

2. Найдите тангенс угла AOB .

3. Найдите синус угла AOB . В ответе укажите значение синуса, умноженное на .

4. Найдите тангенс угла AOB .

5. Найдите синус угла AOB . В ответе укажите значение синуса, умноженное на .

6. Найдите косинус угла AOB . В ответе укажите значение косинуса, умноженное на .

7. Найдите тангенс угла AOB .

8. Найдите синус угла AOB . В ответе укажите значение синуса, умноженное на .

9. Найдите косинус угла AOB . В ответе укажите значение косинуса, умноженное на .

5. Нахождение элементов прямоугольных треугольников

1. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , , AC = 8. Найдите AB .

2. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , tg A = 0,75, BC = 9. Найдите AC .

3. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , sin A = 0,6, BC = 6. Найдите AB .

4. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , cos A = 0,8, BC = 3. Найдите AB .

5. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , sin A = 0,6, AC = 4. Найдите AB .

6. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , tg A = , BC = 6. Найдите AB .

7. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , CH – высота, AB = 25, cos A = 0,8. Найдите AH .

8. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , CH – высота, AB = 25, sin A = 0,6. Найдите BH .

9. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , CH – высота, AH = 16, tg A = 0,75. Найдите BH .

1. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 18, cos A = 0,6. Найдите AC .

2. В треугольнике ABC AC = BC = 10, sin B = 0,8. Найдите AB .

3. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 18, sin A = 0,8. Найдите AC .

4. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 4, tg A = 0,75. Найдите высоту CH .

5. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 30, sin A = 0,8. Найдите высоту AH .

6. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 30, cos A = 0,6. Найдите высоту AH .

7. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 30, sin A = 0,8, AH - высота. Найдите BH .

8. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 30, cos A = 0,6, AH - высота. Найдите BH .

9. В треугольнике ABC AB = BC , AC = 10, sin C = 0,6. Найдите высоту CH .

1. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , tg A = . Найдите sin B .

2. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , CH – высота, AC = 10, AH = 8. Найдите sin B .

3. В треугольнике ABC AC = BC = 5, AB = 6. Найдите cos B .

4. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 5, высота BH равна 4. Найдите sin B .

5. В треугольнике ABC AB = BC , AC = 5, CH – высота, AH = 4. Найдите синус угла ACB .

6. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , AB = 5, BC = 3 . Найдите косинус внешнего угла при вершине A .

7. В треугольнике ABC AB = BC , AB = 5, высота CH равна 4. Найдите косинус угла ABC .

8. Найдите тангенс угла AOB .

9. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 15, sin B = 0,8. Найдите высоту BH .

10. В треугольнике ABC AB = BC , AC = 10, cos C = 0,8, CH - высота. Найдите AH .

Самостоятельная работа 2

1. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , sin B = 0,8. Найдите tg A .

2. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , AC = 5, высота CH равна 3. Найдите cos B .

3. В треугольнике ABC AC = BC = 5, AB = 8. Найдите tg B .

4. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 5, высота BH равна 4. Найдите cos B .

5. В треугольнике ABC AB = BC , AC = 8, высота CH равна 4. Найдите синус угла ACB .

6. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , AB = 5, BC = 3 . Найдите тангенс внешнего угла при вершине A .

7. В треугольнике ABC AB = BC , CH ­– высота, AB = 5, BH = 3. Найдите синус угла ABC .

8. Найдите синус угла AOB . В ответе укажите значение синуса, умноженное на .

9. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 15, cos B = 0,6. Найдите высоту BH .

10. В треугольнике ABC AB = BC , AC = 10, cos С = 0,8. Найдите высоту CH .

Самостоятельная работа 3

1. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , cos B = 0,6. Найдите tg A .

2. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , CH – высота, BC = 5, BH = 3. Найдите tg A .

3. В треугольнике ABC AC = BC = 5, AB = 8. Найдите sin B .

3. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 5, BH – высота, AH = 3. Найдите cos B .

4. В треугольнике ABC AB = BC , AB = 8, высота CH равна 4. Найдите синус угла ABC .

5. В треугольнике ABC угол C равен 90 о , tg A = 0,75. Найдите косинус внешнего угла при вершине A .

7. В треугольнике ABC AB = BC , AB = 5, высота CH равна 4. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A .

8. Найдите косинус угла AOB . В ответе укажите значение косинуса, умноженное на .

9. В треугольнике ABC AC = BC , AB = 15, sin A = 0,8, BH - высота. Найдите AH .

10. В треугольнике ABC AB = BC , AC = 5, sin C = 0,6, CH - высота. Найдите AH .

1. Нахождение значений тригонометрических функций острых углов прямоугольного треугольника

1. 0,8. 2. 0,75. 3. 0,6. 4. 0,75. 5. 0,6. 6. 0,6. 7. 0,8. 8. 0,6. 9. 0,8.

2. Нахождение значений тригонометрических функций острых углов равнобедренного треугольника

1. 0,6. 2. 0,75. 3. 0,6. 4. 0,8. 5. 0,6. 6. 0,6. 7. 0,8. 8. 0,5. 9. 0,6.

3. Нахождение значений тригонометрических функций тупых углов

1. -0,8. 2. -0,75. 3. -0,8. 4. 0,6. 5. -0,8. 6. -0,6. 7. 0,8. 8. - 0,6. 9. 0,8.

4. Нахождение тригонометрических функций углов, изображенных на клетчатой бумаге

1. 2. 2. 1. 3. 2. 4. 0,5. 5. 4. 6. 2. 7. 2. 8. 1. 9. -2.

5. Нахождение элементов прямоугольных треугольников

1. 12. 2. 12. 3. 10. 4. 5. 5. 5. 6. 10. 7. 16. 8. 9. 9. 9.

6. Нахождение элементов равнобедренных треугольников

1. 15. 2. 12. 3. 15. 4. 1,5. 5. 24. 6. 24. 7. 18. 8. 18. 9. 6.

Самостоятельная работа 1

1. 0,8. 2. 0,8. 3. 0,6. 4. 0,8. 5. 0,6. 6. -0,8. 7. -0,6. 8. 0,5. 9. 12. 10. 8.

Самостоятельная работа 2

1. 0,75. 2. 0,6. 3. 0,75. 4. 0,6. 5. 0,5. 6. -0,75. 7. 0,8. 8. 4. 9. 12. 10. 6.

Самостоятельная работа 3

1. 0,75. 2. 0,75. 3. 0,6. 4. 0,6. 5. 0,5. 6. -0,8. 7. -0,5. 8. 2. 9. 9. 10. 4.