Моделирование волн на поверхности цилиндрической конфигурации магнитной жидкости, окружающей длинное пористое ядро Текст научной статьи по специальности «Физика»
Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Тактаров Николай Григорьевич, Рунова Ольга Александровна
Построена и исследована математическая модель распространения и неустойчивости волн на поверхности цилиндрического столба магнитной жидкости бесконечной длины, окружающей коаксиально расположенное, бесконечно длинное ядро (из пористого материала) круглого сечения. Найдены условия, при которых возмущения поверхности жидкого столба становятся неустойчивыми и приводят к его распаду на цепочку из соединенных капель. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Сила тяжести предполагается отсутствующей. Ось пористого цилиндра совпадает с осью коаксиально расположенного соленоида, создающего однородное магнитное поле . Задача решается в цилиндрической системе координат ( r, θ, z ), в которой жидкий столб покоится. Ось z направлена по оси соленоида. Записаны уравнения движения магнитной жидкости внутри и вне пористой среды, а также уравнения для магнитного поля в пористой среде, жидкости и воздушном зазоре. Сформулированы граничные условия для гидродинамических и магнитных величин на поверхностях раздела сред. Возмущенное (в связи с распространением волны ) магнитное поле ищется внутри и вне пористой среды, а также в воздушном зазоре соленоида. Найдено полное решение краевой задачи для гидродинамических и магнитных величин. Проведен численный анализ полученного дисперсионного уравнения, описывающего распространение поверхностных волн . Рассмотрены различные частные случаи. Найдены условия, при которых возмущения поверхности жидкого столба устойчивы (затухающие волны ) либо неустойчивы (что приводит к нарастанию возмущений и распаду цилиндра на цепочку капель). Показано, что размер образующихся при распаде капель увеличивается с ростом магнитного поля , т.е. магнитное поле оказывает стабилизирующее влияние на распад жидкого столба.
Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Тактаров Николай Григорьевич, Рунова Ольга Александровна
Modeling of the waves on a surface of a cylindrical configuration of magnetic fluid, surrounding a long porous core
A mathematical model of waves propagation and instability on a surface of a cylindrical column of magnetic fluid of an infinite length, surrounding a coaxial infinite long porous core of the round section is constructed and studied. The conditions are found under which the disturbances of the surface of fluid column become unstable and result in its fragmentation into a chain of connected droplets. The presence of a surface tension is taken into account. The gravity is neglected. The axis of the porous cylinder coincides with the axis of a coaxial solenoid, generating an uniform magnetic field . The problem is solved in a cylindrical coordinate system ( r, θ, z ), in which the fluid column is at rest. The z -axis is directed along the axis of the solenoid. The equations of the motion of magnetic fluid inside and outside of the porous medium and the equations for the magnetic field are written. The boundary conditions for hydrodynamic and magnetic values on discontinuity surfaces are formulated. The disturbances of magnetic field (according to wave propagation) is searched inside and outside of the porous medium, as well as in the air clearance of the solenoid. The full solution of a boundary value problem for hydrodynamic and magnetic values is found. The numerical analysis of the dispersion equation, describing wave propagation on surface is done. The different special cases are considered. The conditions are found under which the disturbances of the surface of fluid column become stable (wave damping) or become unstable (which result to the disturbances growth and the fragmentation of the cylinder into a chain of droplets). It is shown that the size of droplets appearanced in fragmentation process increases with the growth of the magnetic field i.e. magnetic field has a stabilizing influence upon the fragmentation of the fluid column.
Текст научной работы на тему «Моделирование волн на поверхности цилиндрической конфигурации магнитной жидкости, окружающей длинное пористое ядро»
2013 Механика № 1
Н.Г. Тактаров, О.А. Рунова
Мордовский государственный педагогический институт им. М. Е. Евсевьева, Саранск, Россия
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ КОНФИГУРАЦИИ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ, ОКРУЖАЮЩЕЙ ДЛИННОЕ ПОРИСТОЕ ЯДРО
Построена и исследована математическая модель распространения и неустойчивости волн на поверхности цилиндрического столба магнитной жидкости бесконечной длины, окружающей коаксиально расположенное, бесконечно длинное ядро (из пористого материала) круглого сечения. Найдены условия, при которых возмущения поверхности жидкого столба становятся неустойчивыми и приводят к его распаду на цепочку из соединенных капель. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Сила тяжести предполагается отсутствующей. Ось пористого цилиндра совпадает с осью коаксиально расположенного соленоида, создающего однородное магнитное поле. Задача решается в цилиндрической системе координат (г, 0, г), в которой жидкий столб покоится. Ось г направлена по оси соленоида. Записаны уравнения движения магнитной жидкости внутри и вне пористой среды, а также уравнения для магнитного поля в пористой среде, жидкости и воздушном зазоре. Сформулированы граничные условия для гидродинамических и магнитных величин на поверхностях раздела сред. Возмущенное (в связи с распространением волны) магнитное поле ищется внутри и вне пористой среды, а также в воздушном зазоре соленоида. Найдено полное решение краевой задачи для гидродинамических и магнитных величин. Проведен численный анализ полученного дисперсионного уравнения, описывающего распространение поверхностных волн. Рассмотрены различные частные случаи. Найдены условия, при которых возмущения поверхности жидкого столба устойчивы (затухающие волны) либо неустойчивы (что приводит к нарастанию возмущений и распаду цилиндра на цепочку капель). Показано, что размер образующихся при распаде капель увеличивается с ростом магнитного поля, т.е. магнитное поле оказывает стабилизирующее влияние на распад жидкого столба.
Ключевые слова: волны, магнитная жидкость, цилиндрическая конфигурация жидкости, магнитное поле, длинное пористое ядро.
N.G. Taktarov, O.A. Runova
Mordovian State Pedagogical Institute,
Saransk, Russian Federation
MODELING OF THE WAVES ON A SURFACE OF A CYLINDRICAL CONFIGURATION OF MAGNETIC FLUID, SURROUNDING A LONG POROUS CORE
A mathematical model of waves propagation and instability on a surface of a cylindrical column of magnetic fluid of an infinite length, surrounding a coaxial infinite long porous core of the round section is constructed and studied. The conditions are found under which the disturbances of the surface of fluid column become unstable and result in its fragmentation into a chain of connected droplets. The presence of a surface tension is taken into account. The gravity is neglected. The axis of the porous cylinder coincides with the axis of a coaxial solenoid, generating an uniform magnetic field. The problem is solved in a cylindrical coordinate system (r, 0, z), in which the fluid column is at rest. The z-axis is directed along the axis of the solenoid. The equations of the motion of magnetic fluid inside and outside of the porous medium and the equations for the magnetic field are written. The boundary conditions for hydrodynamic and magnetic values on discontinuity surfaces are formulated. The disturbances of magnetic field (according to wave propagation) is searched inside and outside of the porous medium, as well as in the air clearance of the solenoid. The full solution of a boundary value problem for hydrodynamic and magnetic values is found. The numerical analysis of the dispersion equation, describing wave propagation on surface is done. The different special cases are considered. The conditions are found under which the disturbances of the surface of fluid column become stable (wave damping) or become unstable (which result to the disturbances growth and the fragmentation of the cylinder into a chain of droplets). It is shown that the size of droplets appearanced in fragmentation process increases with the growth of the magnetic field i.e. magnetic field has a stabilizing influence upon the fragmentation of the fluid column.
Keywords: waves, magnetic fluid, cylindrical configuration of fluid, magnetic field, long porous core.
Магнитные жидкости в природе не существуют - их синтезируют искусственно, путем коллоидного растворения наночастиц твердого ферромагнетика в обычной немагнитной жидкости [1]. Магнитные жидкости широко используются в различных областях техники и технологии.
Задача о волнах на поверхности струи магнитной жидкости рассмотрена в [2]. Распространение поверхностных волн в слое жидкости на пористом основании исследовано в [3]. Задача о распространении волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро, решена в [4].
1. Математическая модель
Предполагается, что внутри цилиндрического объема магнитной жидкости находится ядро из пористого материала в форме коаксиально расположенного круглого цилиндра. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Сила тяжести предполагается отсутствующей. Ось пористого цилиндра совпадает с осью коаксиально расположенного цилиндрического соленоида, создающего однородное магнитное поле
с напряженностью Н0. Задача решается в цилиндрической системе координат (г, 0, г), в которой жидкий столб покоится. Ось г направлена по оси пористого цилиндра. Радиус пористого цилиндра, невозмущенной поверхности жидкости и соленоида обозначим а, а0 и Ь соответственно. Величины, относящиеся к пористой среде, свободной жидкости (вне пористой среды) и промежутку между жидкостью и соленоидом (воздух), будем обозначать в необходимых случаях индексами 1, 2 и 3 соответственно. Магнитная проницаемость ц1, ц2, ц3 в областях 1, 2, 3
предполагается постоянной. Предполагаем, что ц3 = 1, а магнитная проницаемость среды в области 1 (пористый материал, насыщенный жидкостью) р = р2Г + р^(1 -Г), где р5 - проницаемость пористой
матрицы; Г - пористость (отношение объема пор ко всему элементарному объему среды). При постоянной проницаемости магнитная сила равна нулю, однако это не означает, что магнитное поле не влияет на движение жидкости. В самом деле, на поверхностях раздела сред существуют механические напряжения (связанные со скачком магнитного поля), посредством которых и происходит взаимодействие ПОЛЯ со средой.
Уравнения движения магнитной жидкости в пористой среде (при сделанных предположениях) имеют вид [3, 5]
— = ^гаёр1 - — и1, Шу и1 = 0. (1)
Здесь р - плотность жидкости; ^ - вязкость; К - коэффициент проницаемости пористой среды; р1- давление; и1 - макроскопическая скорость фильтрации, связанная со средней скоростью ^1 жидкости в порах соотношением и1 = Г^1.
Уравнения движения свободной жидкости, в предположении, что амплитуда волны значительно меньше ее длины, запишем в линейном приближении [6]:
р= -gradp2, divu2 = 0. (2)
Здесь u2 - скорость свободной жидкости. Ограничиваемся случаем волн достаточно большой длины X, существенно превышающей радиус а0 жидкого столба, с тем чтобы пренебречь слагаемыми, содержащими Ли 1 и Ли 2 в уравнениях (1) и (2).
Уравнения для магнитного поля [7]
rot Иг. = 0, divp, г Иг. = 0 (i = 1, 2, 3). (3)
Из уравнений (1)—(3) следует
u 1 = u2 =Vф2, И. =V, (4)
Аф1 = 0, Аф2 = 0, Луг. = 0 (i = 1, 2, 3).
Далее все величины будем записывать в виде
Р1 = Р10 + P1w , Р2 = Р20 + Р2w , Иi = 0 + Иiw ,
¥ г =¥ г 0 +V w = zHr 0 +V w (i = 1, 2, 3). (5)
Здесь индексами 0 и w обозначены соответственно невозмущенные величины и малые возмущения, связанные с волной;
И10 = И20 = И30 = И0. Возмущения уiw также должны удовлетворять
уравнениям Лапласа (4).
Система граничных условий имеет вид [6, 7]: на границе пористой среды (г = а)
3) ^1«V^1 = Ц2nVV 2 , (6)
4) Р1 -^H2+^И2 = Р2я22„+й2И2;
на свободной поверхности жидкости г = а0 + £,(0,z,t)
7) ц2пУу2 = ц3пУу3,
на поверхности соленоида (г=Ь)
9) у3№ = 0 (возмущение потенциала у3 равно нулю).
Здесь а - коэффициент поверхностного натяжения; С - средняя кривизна поверхности; п - единичная нормаль к соответствующей поверхности.
Невозмущенные величины также должны удовлетворять граничным условиям (6) (в предположении, что и = и2 = 0 И £, = 0).
Для возмущений давления из (1) и (2) с учетом (5) следует
Как известно из дифференциальной геометрии, выражения для п
для деформированной цилиндрическои поверхности в линеином приближении имеют вид
На поверхности пористой среды п = (1, 0, 0).
С учетом вышеизложенного граничные условия (6) в линейном приближении принимают вид